Unendlichkeit

[petronius]

Moment, da komm ich nicht ganz mit. Das Universum dehnt sich doch aus, müsste da ein Rand nicht automatisch sich definieren?

nein, jedenfalls nicht in unseren drei dimensionen. so wie auch die zweidimensionale oberfläche eines luftballons zwar größer wird, wenn man diesen aufbläst,, aber trotzdem (in den zwei dimensionen) keinen rand hat

[Kibuka]

Das berühmteste Werk zum Thema Universum und Rand liefert wohl Hawking mit seinem Buch "Das Universum in der Nußschale". Hier eine kurze Zusammenfassung von der ersten Seite, die Google lieferte.

Hawkings Konzept der "Randlosigkeit"

Die Quantenwelle des Kosmos. Der britische Kosmologe Stephen Hawking hat zusammen mit dem amerikanischen Physiker Jim Hartle ein Modell der "Randlosigkeit" des Universums entwickelt, das ohne die problematische Anfangssingualrität auskommt. Dabei wird das quantentheoretische Konzept der Wahrscheinlichkeitswelle auf das Universum übertragen und die Anfangsbedingungen dahingegehend definiert, dass das Universum zwar eine endliche Raumzeit aber "keinen Rand" (keine Grenze) hat.

Imaginäre Zeit. Das Konzept der "Randlosigkeit" beruht auf der Idee der "imaginären Zeit". Es handelt sich dabei um die Zeit, die durch imaginäre Zahlen (z. B. Quadratwurzel aus negativen Zahlen) bestimmt wird. Die Geschichte des Universums in imaginären Zeit beeinflusst die Geschichte der reelen Zeit und umgekehrt. Beide Geschichten können jedoch nach Hawking sehr verschieden sein.

Hawking beschreibt die imaginäre Zeit als eine senkrecht auf der Geschichte der reelen Zeit stehende Achse in einem Koordinatensystem. Die imaginäre Zeit verhält sich somit wie eine zusätzliche Richtung (Dimension) des Raumes.

Universum ohne Anfangssingularität. Stellt man sich die Raumzeit als Kugel (Erdkugel) vor, also mit einer geschlossenen Geometrie, so kann man die imaginäre Zeitrichtung als Entfernung vom Südpol zum Nordpol denken. Natürlich hat eine Kugelfläche nur zwei Dimensionen, während das Universum drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension besitzt. Bewegt man sich nun vom Südpol (Anfang des Universums) nach Norden, werden die Breitenkreise größer, d h. das Universum expandiert mit zunehmender imaginären Zeit. Am Äquator hat das Universum seine größte Ausdehnung erreicht und beginnt sich wieder zusammenzuziehen (erkennbar an den schmaler werdenden Breitenkreisen), um dann am Nordpol zu einem Punkt zu schrumpfen.

Obwohl das Universum nach diesem Modell am Süd- und Nordpol die Größe Null besitzt, sind diese Punkte keine Singularitäten, wie ja auch der Nord- und Südpol auf der Erde zwar ausdehnunglose Punkte aber keine Singularitäten sind. Dies bedeutet nach Hawking, dass auch der Anfang der imaginären Zeit des Universums nicht in einer Anfangssingularität liegt. Das Universum bildete wie bei einer Kugel eine geschlossene Fläche ohne Rand. Es ist unabhängig von äußeren Einflüssen und nur von den Gesetzen in seinem Inneren bestimmt. Die Frage was vorher war ist sinnlos, genau wie die Frage was südlich des Südpols liegt.

Die Problematik des Konzeptes der "Randlosigkeit" des Universums liegt in dem Begriff der "imaginären Zeit", bei der es sich lediglich um ein mathematisches Konstrukt handelt.

http://www.gm.nw.schule.de/~moltke/randlos.htm

Ein netter Artikel aus der ZEIT.

Hat das Universum einen Rand?
DIE ZEIT, Ausgabe 01, 2006

Von Christoph Drösser | © DIE ZEIT 29.12.2005 Nr.1

Die Unendlichkeit ist für viele Menschen unfassbar. Der Kosmologe und Erfolgsautor John Barrow hat damit keine Schwierigkeiten. Ein Gespräch über den Urknall, das Rechnen mit der Grenzenlosigkeit und den Schrecken ewigen Lebens

DIE ZEIT: Gibt es in der wirklichen Welt etwas Unendliches?

JohnBarrow: Traditionell unterscheidet man zwei Sorten von Unendlichkeit: die Unendlichkeit im sehr Kleinen und die im sehr Großen. Seit Aristoteles unterscheidet man zudem zwischen der potenziellen Unendlichkeit und der aktualen Unendlichkeit. Mit der potenziellen konnte Aristoteles gut leben. Bei der gibt es eine lange Folge, die niemals aufhört. Etwa die positiven Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. »Für immer«, sagen wir und wissen, dass wir immer 1 addieren können und nie zu einem Ende kommen. Ähnlich ist es in der Astronomie. Im Moment spricht alles dafür, dass das Universum unendlich groß ist.

ZEIT: Ist das nicht auch potenziell?

Barrow: Ja, denn das sind Unendlichkeiten, die einem nie real begegnen. Viel ungewöhnlicher ist die Idee einer aktualen Unendlichkeit. Ob also eine physikalisch messbare Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt und an einem bestimmten Ort einen unendlichen Wert annimmt. Und das ist eine umstrittene und heftig diskutierte Frage.

ZEIT: Gibt es diese aktualen Unendlichkeiten nun irgendwo im Universum?

Barrow: In den meisten Bereichen der Wissenschaft sind die Forscher nicht gerade glücklich, wenn in ihren Theorien und Voraussagen solche aktualen Unendlichkeiten auftauchen. In der Aerodynamik zum Beispiel: Wenn man dort ausrechnet, dass sich ein Luftstrom unendlich schnell verändert, dann schließt man daraus, dass man die falsche Mathematik gewählt hat, um die Physik dieses Luftstroms zu berechnen.

ZEIT: Es heißt ja, die Natur mache keine Sprünge.

Barrow: Genau – jedenfalls keine unendlichen! Wenn man eine Peitsche knallen lässt, dann gibt es einen Überschallknall, das Ende der Peitsche bewegt sich schneller als der Schall. Wenn man das einfach mathematisch beschreibt, dann bekommt man eine unendlich große Geschwindigkeitsänderung zum Zeitpunkt des Knalls. Aber wenn man die Luftreibung berücksichtigt, dann glättet das diese Unendlichkeit, und man bekommt nur eine sehr schnelle Änderung. In der Teilchenphysik hat sich die revolutionäre String-Theorie auch deshalb durchgesetzt, weil Michael Green und John Schwartz in den frühen achtziger Jahren zeigen konnten, dass diese Theorie endlich ist. Alle vorhergehenden Theorien haben immer unendliche Antworten auf alle möglichen Fragen nach beobachtbaren Größen geliefert.

ZEIT: Betrachtet man das Universum ganz naiv, dann gibt es keinen Grund, anzunehmen, dass es sich nicht unendlich in die Vergangenheit, die Zukunft und auch den Raum erstreckt. Oder dass man die Materie immer weiter teilen kann…

Barrow: Das war schon bei den alten Griechen eine kontrovers diskutierte Frage. Die Atomisten glaubten, es gebe kleinste Teile der Materie. Die ganze Materie sei aus diesen Elementarteilchen aufgebaut.

ZEIT: Aber das war ein rein philosophischer Streit.

Barrow: Die Frage nach der Unendlichkeit des Universums war sehr kompliziert, sie war verknüpft mit der Frage, ob es einen leeren Raum, ein Vakuum, geben könne. Aristoteles glaubte, dass sich die Dinge in einem perfekten Vakuum mit unendlicher Geschwindigkeit bewegen würden. Für ihn war die Existenz eines perfekten Vakuums verknüpft mit der Frage nach einer tatsächlich existierenden Unendlichkeit.

ZEIT: Beim Gedanken an ein endliches Universum fragte man sich immer, was denn wohl außerhalb davon wäre.

Barrow: Die Vorstellung eines endlichen Universums war für mich immer sehr seltsam. Im 4. vorchristlichen Jahrhundert formulierte der Soldat und Philosoph Archytas von Tarent folgendes Paradox: Wenn das Universum endlich ist, muss es einen Rand geben. Und wenn man kurz vor diesem Rand steht und einen Speer wirft – was würde mit dem passieren, wenn er über den Rand hinausfliegt? Er glaubte wirklich, ein endliches Universum müsse einen Rand haben.

ZEIT: Dann haben sich Physik und Naturwissenschaften weiterentwickelt, und man entdeckte plötzlich viele Endlichkeiten: die Theorie vom Big Bang, nach der das Universum ein endliches Alter hat, die Elementarteilchen. Das hat die Unendlichkeit aus dem Blickfeld verdrängt.

Barrow: Andererseits ist der Big Bang ein interessantes Beispiel, bei dem man tatsächlich aktuale Unendlichkeiten findet. Die Expertenmeinung darüber ist geteilt: Es gibt Kosmologen, die mit physikalischen Unendlichkeiten gut leben können, etwa einer aktualen Unendlichkeit am Anfang des Universums – wenn es einen solchen Anfang gab. Andere nehmen den Gegenstandpunkt ein und sagen: Das ist nur eine Vorhersage von Einsteins Relativitätstheorie, und wenn man eine bessere Theorie hat, etwa die String-Theorie, dann verschwinden diese Unendlichkeiten.

ZEIT: Wie sieht es bei einem Schwarzen Loch aus?

Barrow: Auch im Zentrum eines Schwarzen Lochs passiert Ungewöhnliches, eine Art umgekehrter Big Bang. Diese Singularität im Zentrum ist ein unendlich dichter Punkt. Er kann keine Wirkung auf die Außenwelt ausüben, wegen des Horizonts des Schwarzen Lochs. Signale können nicht nach draußen und uns beeinflussen.

ZEIT: Wäre das die »kosmische Zensur«?

Barrow: Ja. Wenn im Universum eine unendliche Singularität entsteht, dann ist sie immer durch einen solchen Horizont abgeschirmt. Es können keine Informationen herauskommen und die Außenwelt beeinflussen, es gibt keine so genannten »nackten« Singularitäten. Das ist also wieder so eine Situation, wo eine Unendlichkeit im Universum existieren könnte – aber selbst wenn es sie gibt, dann verhindert eine Art Verschwörung der Natur, dass wir sie je zu Gesicht bekommen und, noch wichtiger, dass sie einen Einfluss auf uns hat. Das erinnert mich ein wenig an die mittelalterlichen Philosophen. Sie wollten die Existenz eines reinen Vakuums in der Natur dadurch verhindern, dass sie einen mysteriösen »himmlischen Agenten« auf den Plan riefen.

[...]

http://www.zeit.de/2006/01/N-Interview_Barrow

[Zeta]

Wir nehmen die vierte auch war - wenn die 4te die Zeit sein soll.

Ja, dann haben wir eine 4dimensionale Welt, die wahrscheinlich in eine 5te Dimension, die wir nicht wahrnehmen bzw. begreifen können (die Schwerkraft entspringt ihr), gekrümmt ist.

[Kibuka]

die Schwerkraft entspringt ihr.

Das ist eine Vermutung für die relativ schwache Gravitationskraft, die sich aus der Stringtheorie ergibt.

[Zeta]

Das ist eine Vermutung für die relativ schwache Gravitationskraft, die sich aus der Stringtheorie ergibt.

Nein, diese ermutung entspringt der speziellen Relativitätstheorie, nach der Gravitation eine Eigenschaft der Raumkrümmung ist. Die String, oder besser M-Theorie postuliert das Gravitron, ein masseloses Teilchen, das für die Gravitation zuständig ist.

[Zeta]

Selbstverständlich ist die Zahl π selbst endlich, weil eine obere Schranke existiert.

Und wo soll diese Schranke liegen?

[Talyessin]

Ja, dann haben wir eine 4dimensionale Welt, die wahrscheinlich in eine 5te Dimension, die wir nicht wahrnehmen bzw. begreifen können (die Schwerkraft entspringt ihr), gekrümmt ist.

Juche - also. Die Schwerkraft soll demnach eine eigene Dimension darstellen?

[El Cattivo]

Und wo soll diese Schranke liegen?

Das abgeschlossene Intervall [3,4] wäre zum Beispiel eine Möglichkeit eine obere und untere Schranke für π anzugeben.

Nein, diese ermutung entspringt der speziellen Relativitätstheorie, nach der Gravitation eine Eigenschaft der Raumkrümmung ist.

Zeta, aber das wird jetzt völlig falsch. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch gekrümmte Raumzeit geschrieben und nicht durch die spezielle, aber es kommen daraus Zusatzdimensionen zustande. Hier gibt es 3 Raumdimensionen und eine Zeitdimension. Die Zusatzdimensionen werden erst in den Stringtheorien, die bis heute unverifizierte Spekulationen sind, gemacht

Selbstverständlich ist die Zahl π selbst endlich, weil eine obere Schranke existiert.

Sorry, dann will ich nichts gesagt haben.

mfg

[Zeta]

Juche - also. Die Schwerkraft soll demnach eine eigene Dimension darstellen?

Keine eigene DImension. Laut spezieller RT hat ein ungekrümmter Raum keine Schwerkraft, ein sehr stark gekrümmter (schwarzes Loch) eine sehr Hohe.
Die Materie sagt also dem Raum, wie er sich zu krümmen hat und der Raum diktiert darauf der Materie, wie sie sich zu verhalten hat.
Kann man sich so vorstellen, das wir als zweidimensionale Wesen in einer zweidimensionalen Welt (ein Blatt Papier) leben, welche in eine 3te Dimension (ein welliges Blatt Papier) gekrümmt ist.

[Zeta]

1. Zeta, aber das wird jetzt völlig falsch. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch gekrümmte Raumzeit geschrieben und nicht durch die spezielle, aber es kommen daraus Zusatzdimensionen zustande. Hier gibt es 3 Raumdimensionen und eine Zeitdimension. Die Zusatzdimensionen werden erst in den Stringtheorien, die bis heute unverifizierte Spekulationen sind, gemacht
Selbstverständlich ist die Zahl π selbst endlich, weil eine obere Schranke existiert.

1. Stimmt, hab spezielle mit allgemeiner verwechselt. Mea culpa!
In der M-Theorie werden die Dimensionen 5-11 gefordert, in der Allgemeinen die 4te Raumdimension.
2. Würd mich mal interessieren, wie diese obere Grenze definiert ist. Ich bin vorher vom Gymmi gegangen (worden).

[Talyessin]

Keine eigene DImension. Laut spezieller RT hat ein ungekrümmter Raum keine Schwerkraft, ein sehr stark gekrümmter (schwarzes Loch) eine sehr Hohe.
Die Materie sagt also dem Raum, wie er sich zu krümmen hat und der Raum diktiert darauf der Materie, wie sie sich zu verhalten hat.
Kann man sich so vorstellen, das wir als zweidimensionale Wesen in einer zweidimensionalen Welt (ein Blatt Papier) leben, welche in eine 3te Dimension (ein welliges Blatt Papier) gekrümmt ist.

Ganz so auf der Brennsuppn bin ich a ned ~ Okay, dann ist die dritte Dimension mit der Schwerkraft erklärbar ?

[Zeta]

Ganz so auf der Brennsuppn bin ich a ned ~ Okay, dann ist die dritte Dimension mit der Schwerkraft erklärbar ?

Nein. Sie ist laut Einstein die Wirkung der Krümmung unseres 3dimensionalen Raumes in eine 4te.

[Talyessin]

Nein. Sie ist laut Einstein die Wirkung der Krümmung unseres 3dimensionalen Raumes in eine 4te.

Die Zeit ist doch die vierte..??

[Kibuka]

Die Zeit ist doch die vierte..??

Nein, das ist so nicht ganz richtig. Häufig wird die vierte Dimension mit der Zeit gleichgesetzt und der 4D-Raum mit dem Begriff Raumzeit. Das ist aber insofern nicht ganz richtig, als ein solcher Raum nicht euklidisch ist, weil er eine so genannte Raumkrümmung aufweist. In der allgemeinen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit als Einheit durch ein Teilgebiet der Differentialgeometrie beschrieben, die als Raumzeit bezeichnet wird. Das ist höhere Mathematik und nicht unbedingt relevant, man muss nur wissen das Zeit und Raum in den Grundgleichungen der Relativitätstheorie fast völlig gleichwertig nebeneinander erscheinen und sich daher zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigen lassen. Die Raumzeit wird lokal durch die Anwesenheit von Energie gekrümmt. Energie kann auch Masse, Strahlung oder Druck sein.

Die Gravitation lässt sich auf diese Weise auf ein geometrisches Phänomen zurückführen, so reduziert die allgemeine Relativitätstheorie die Gravitationskraft auf den Status einer Scheinkraft. Dazu gibt es das bekannte Beispiel mit dem Gummituch. Bewegt sich ein Lichtstrahl auf dieser gekrümmten Raumzeit, so bewegt er sich aus seiner Sicht zwischen zwei Raumzeitpunkten stets entlang der kürzesten Verbindung. Aus unserem "Blickwinkel" sieht es aber aus, als würde der Lichtstrahl eine Kurve machen. Massive Objekte verursachen eine Krümmung der Raumzeit und die Erde bewegt sich gewissermaßen wie ein Ball zwischen Tälern und Hügeln dieser gekrümmten Raumzeit.

Und nun kommt die Stringtheorie ins Spiel. Anders als bei der Relativitätstheorie ist in der Stringtheorie die Gravitation keine Scheinkraft, die sich aus der Theorie ergibt, sie wird durch die Existenz von Graviton genannten Elementarteilchen erklärt. Diese Gravitonen werden zwischen gravitierenden Objekten wie etwa Sonne und Erde ausgetauscht. Das funktioniert ganz ähnlich wie beispielsweise der Austausch von Photonen, von Lichtteilchen, die die elektromagnetische Wechselwirkung spüren. Auf diese Art ist die Gravitation der Stringtheorie tatsächlich nicht übergestülpt, sondern Resultat dieses Teilchenaustausches von Gravitonen. Diese Gravitonen selbst aber sind kleine vibrierende Strings. Die Stringtheorie versucht die Gravitation mit der Quantenfeldtheorie der nichtgravitativen Wechselwirkungen zu vereinigen.

Das schöne an der Stringtheorie ist, dass sie nicht auf null-dimensionales Objekten beruht, sondern auf Fäden, also ein-dimensionalen Objekten, was ein völlig neuer Ansatz ist. Unser Universum existiert vielleicht auf einer Wand oder Membran, die in den Extra-Dimensionen liegt. Die Linie auf dem Zylindermantel und die Flache Ebene stellen unser dreidimensionales Universum dar, das alle bekannten Teilchen und Kräfte gefangen hält – mit Ausnahme der Gravitation. Die Schwerkraft breitet sich in allen Dimensionen aus. Sie bietet auch einen Ansatz für die Erklärung der relativ schwachen Gravitationskraft. Gravitation kann sich nämlich in alle Dimensionen ausbreiten. Die restlichen 3 Grundkräfte sind auf unsere 4 bekannten Dimensionen (Untermannigfaltigkeit) beschränkt. Man könnte daher sagen die Gravitation leakt in unser Universum.

Was Zeit letztlich ist, ist nach wie vor ungeklärt. Auch in der Stringtheorie hat man sie noch nicht wirklich verstanden. Ich habe hier vor einigen Monaten ein nettes animiertes Video zu Stringtheorie gepostet. Mal sehen, ob ich den Beitrag noch finde.

EDIT: So, habs gefunden.

http://www.politik-forum.eu/viewtopic.p ... ing#p38223

[El Cattivo]

2. Würd mich mal interessieren, wie diese obere Grenze definiert ist. Ich bin vorher vom Gymmi gegangen (worden).

Wie du gerade lustig bist. Wichtig ist nur, das man eine obere Grenze definieren kann. Solange man dies kann ist eine Zahl definitionsgemäß endlich. Eine obere Grenze ist zum Beispiel 4 und eine untere Grenze (Pi, könnte ja auch ins negativ unendliche abhauen) wäre 3. Man kann auch andere Grenzen wählen, wichtig ist nur das man es kann.

Erst wenn man keine obere oder untere Grenze mehr festlgen kann, dann ist etwas unendlich.

mfg

[Zeta]

Wie du gerade lustig bist. Wichtig ist nur, das man eine obere Grenze definieren kann. Solange man dies kann ist eine Zahl definitionsgemäß endlich. Eine obere Grenze ist zum Beispiel 4 und eine untere Grenze (Pi, könnte ja auch ins negativ unendliche abhauen) wäre 3. Man kann auch andere Grenzen wählen, wichtig ist nur das man es kann.

Erst wenn man keine obere oder untere Grenze mehr festlgen kann, dann ist etwas unendlich.

mfg

Das Pi zwischen 3 und 4 liegt ist klar. Ich sehe da aber keinen Beweis für eine Endlichkeit der Zahl. Selbige kann unendlich viele Stellen nach dem KOmma haben und dennoch zwischen 3 und 4 liegen. So sieht die Sache aus.

[El Cattivo]

Ich sehe da aber keinen Beweis für eine Endlichkeit der Zahl.

Ist aber einer, gemäß der Definition von unendlich. Behaupten wir mal, pi sei unendlich. Die Definition ist, das eine Folge/Reihe/Funktion (Pi ist zum Beispiel durch eine unendliche Reihe exakt darstellbar) genau dann gegen unendlich konvergiert, wenn sie über alle Maße wächst. 4 ist ein Maß, über das Pi nie hinaus wächst. Das steht im Widerspruch zur Definition von unendlich.

mfg

[El Cattivo]

...

[Kibuka]

Das Pi zwischen 3 und 4 liegt ist klar. Ich sehe da aber keinen Beweis für eine Endlichkeit der Zahl. Selbige kann unendlich viele Stellen nach dem KOmma haben und dennoch zwischen 3 und 4 liegen. So sieht die Sache aus.

Du liegst einem Missverständnis auf. Die Zahl π ist zwar nur als nichtperiodischer und unendlicher Dezimalbruch darstellbar, die Zahl π selbst ist jedoch eindeutig endlich. Es spielt keine Rolle wie du die Zahl als 3,1415926535897932384626433832795... auch darstellst, eine obere Schranke bildet immer zum Beispiel die Zahl 4. In der Mathematik ist etwas unendlich, wenn es über alle Grenzen wächst. Das kann eine Folge reeller Zahlen oder eine andere reellwertige Funktion sein. Auch der Bruch 2/3 ist im 10-er Stellensystem nicht darstellbar, aber dennoch ist die Zahl endlich.

[Zeta]

Ist aber einer, gemäß der Definition von unendlich. Behaupten wir mal, pi sei unendlich. Die Definition ist, das eine Folge/Reihe/Funktion (Pi ist zum Beispiel durch eine unendliche Reihe exakt darstellbar) genau dann gegen unendlich konvergiert, wenn sie über alle Maße wächst. 4 ist ein Maß, über das Pi nie hinaus wächst. Das steht im Widerspruch zur Definition von unendlich.

mfg

Mir geht es nicht um eine unendlich große Zahl, sondern um unendlich viele Zahlen hinterm Komma. Ich glaube, wir haben aneinander vorbei geredet. Oder kann man beweisen, das Pi endlich viele Stellen hat?

[Talyessin]

Unendlichkeit geht doch eigentlich auch ins minimale, oder? Wobei beim Pi ich die Endlichkeit schon irgendwo nachvollziehen kann. ( Wie bringt ihr das PI eigentlich auf den Bildschirm ? )

[El Cattivo]

Wie bringt ihr das PI eigentlich auf den Bildschirm ?

Einfachste Methode ist, über Word oder Open Office Writer über 'Einfügen-Symbole' in ein leeres Dokument einfügen und das π ins Posting rüber zu kopieren.

Mir geht es nicht um eine unendlich große Zahl, sondern um unendlich viele Zahlen hinterm Komma. Ich glaube, wir haben aneinander vorbei geredet. Oder kann man beweisen, das Pi endlich viele Stellen hat?

Ok. Man kann beweisen, das π unendlich viele Stellen hintern Komma hat.

Unendlichkeit geht doch eigentlich auch ins minimale, oder?

Freilich. Spielt eine Schlüsselrolle bei der Differenzialrechnung. Schau mal diese Bild bei Wiki. Beim ableiten (differenzieren) lässt man den Abstand zwischen x_0 und (x_0+Δx) unendlich klein werden. Der Unterschied zwischen unendlich klein und einfach 0 ist ungeheuer wichtig, denn wenn man einfach sagt, der Abstand ist 0, dann bekommt man später in der Rechnung ein geteilt durch 0, was nicht lösbar ist.

mfg

[Kibuka]

...genau dann gegen unendlich konvergiert, wenn sie über alle Maße wächst.

Ich würde nicht von Konvergenz sprechen, eher von bestimmter Divergenz, weil der Grenzwert ∞ ein uneigentlicher Grenzwert ist und keine reelle Zahl. Die Folge der natürlichen Zahlen divergiert auch bestimmt gegen ∞. Ist aber eine Geschmacksfrage.

[El Cattivo]

Ich würde nicht von Konvergenz sprechen, eher von bestimmter Divergenz, weil der Grenzwert ∞ ein uneigentlicher Grenzwert ist und keine reelle Zahl. Die Folge der natürlichen Zahlen divergiert auch bestimmt gegen ∞. Ist aber eine Geschmacksfrage.

Du hast vollkommen Recht. Eine Folge die gegen unendlich strebt konvergiert nicht.

mfg

[Perdedor]

Nein. Sie ist laut Einstein die Wirkung der Krümmung unseres 3dimensionalen Raumes in eine 4te.

Der Clou der ART/differetialgeometrischen Darstellung ist übrigens, dass sich der 3D Raum nirgendwo "reinkrümmt". Es ist zwar möglich ihn in einen R^N einzubetten, aber nicht notwendig und wird in der Regel auch nicht gemacht (nur für bildliche Darstellungen).

Nach aktuellem Stand der Forschung kann man leider immer noch nicht mitzufriedenstellender Sicherheit sagen, ob der Raum global nun gekrümmt ist oder nicht (und wenn ja in welche Richtung). Die Frage, ob das Universum endlich ist, ist also immernoch offen. :nails:

[Zunder]

Brian Greene hat irgendwo sinngemäß geschrieben:
Wenn bei einer physikalischen Berechnung das Ergebnis unendlich lautet, ist das ein sicheres Indiz für einen Fehler.

Unendlichkeit kommt in der Realität wohl eher nicht vor. Sie ist eine Errungenschaft des Abstraktionsvermögens.
(Nebenbei: Ewigkeit bedeutet eigentlich Zeitlosigkeit und nicht unendlich lange Zeit.)

[Perdedor]

Brian Greene hat irgendwo sinngemäß geschrieben:
Wenn bei einer physikalischen Berechnung das Ergebnis unendlich lautet, ist das ein sicheres Indiz für einen Fehler.

Richtig. Allerdings gilt dies nur für Meßgrößen. "Zwischenergebnisse" können durchaus mal divergieren, ohne dass das Endergebnis dadurch falsch wird. In der Quantenfeldtheorie führt dies zum Mechanismus der Renormierung, in der ART können behebare Singularitäten durch Koordinatentransformationen "endlich gemacht" werden.

[lamb of god]

in der ART können behebare Singularitäten durch Koordinatentransformationen "endlich gemacht" werden.

hatten wir schon...ich glaube das war die Sache mit dem Blickwinkel, denn eine Koordinatentransformation ist letztlich auch nur ein anderer Blickwinkel.

Warum es imo keine Undendlichkeit gibt sehen wir nicht im Großen, sindern im Kleinen. unendlich klein gibt es nicht..da spricht nicht viel für unendlich groß. naiv trivial genial

btw Zahlen
Weiß nicht ob es schon erwähnt wurde, aber Mathematiker arbeiten da eher mit dem Begriff Mächtigkeit.

[Kibuka]

unendlich klein gibt es nicht..

Wer sagt das?

[Perdedor]

hatten wir schon...ich glaube das war die Sache mit dem Blickwinkel, denn eine Koordinatentransformation ist letztlich auch nur ein anderer Blickwinkel.

Ja, aber der Punkt ist, dass das nicht immer funktioniert. Und wenn nicht, dann ist dies, wie @Zunder richitg bemerkte ein Zeichen für die Anwendung einer Theorie außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs.

Warum es imo keine Undendlichkeit gibt sehen wir nicht im Großen, sindern im Kleinen. unendlich klein gibt es nicht..da spricht nicht viel für unendlich groß. naiv trivial genial

In der QM werden die "Teilchen" als punktförmig, also unendlich klein angenommen.

btw Zahlen
Weiß nicht ob es schon erwähnt wurde, aber Mathematiker arbeiten da eher mit dem Begriff Mächtigkeit.

Mächtigkeit ist ein Begriff der Mengenlehre um auch zwischen unendlichen Mengen unterscheiden zu können. :geek:

[lamb of god]

In der QM werden die "Teilchen" als punktförmig, also unendlich klein angenommen.

aber nur im mathematischen Modell, damit sich besser rechnen läßt. Im Eergebnis kommt nix unendlich Kleines raus.

Mächtigkeit ist ein Begriff der Mengenlehre um auch zwischen unendlichen Mengen unterscheiden zu können. :geek:

und genau so abstrakt sollte man Zahlen auch sehen.

@Kibuka
Die QM.

[Talyessin]

Wunderbare Welt der Quantenphysik. Gut. Genaugenommen können wir alle nicht sagen, ob es eine Unendlichkeit gibt oder nicht, sondern diese nur, wenn auch stark, vermuten. Ist des so?

[Kibuka]

@Kibuka
Die QM.

Immer schön der Reihe nach. Natürlich verhindert die Planck-Länge das wir den Weg ins Innere der Natur endlos fortsetzen können und Strukturen auf immer kleineren Skalen entdecken. Inwiefern man das mathematische Konzept nun vom physikalischen trennen möchte, ist eine Frage des Prinzips. Ein Photon hat mit Sicherheit eine Masse, so gering, dass diese als unendlich klein bezeichnet werden kann. Physikalisch ist eine unendlich kleine Masse natürlich immer noch eine Masse - mathematisch ist eine unendlich geringe Masse 0 Masse. Die Verbindung von Naturwissenschaft mit artifizieller Wissenschaft der Mathematik kann uns aber möglicherweise daran hindern, die Wahrheit zu finden. Die Quantenmechanik versagt bekannterweise in unmittelbarer zeitlicher Nähe des Urknalls und sogar darüber hinaus. Die mathematischen Konzepte der Infinitesimalrechnung können daher sehr wohl auf den Kosmos angewandt werden. Ich zumindest kann nicht erkennen, dass es "unendlich klein" nicht geben könnte, nur weil die QM das physikalisch ausschließt.

[Perdedor]

aber nur im mathematischen Modell, damit sich besser rechnen läßt.

Nimmt man nur im mathematischen Modell an, dass die Gravitationskraft mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt, oder ist das "wirklich" so? Messungen liefern jedenfalls Ergebnisse die mit diesem Modell im Einklang sind.
Genauso ist es mit den punktförmigen Teilchen. Eine Unterscheidung Modell - "Wirklichkeit" macht hier nicht viel Sinn, da wir die Wirklichkeit ohnehin nur als Abstraktion verarbeiten.
Es bleibt freilich abzuwarten, ob das Modell irgendwann widerlegt wird.

Natürlich verhindert die Planck-Länge das wir den Weg ins Innere der Natur endlos fortsetzen können und Strukturen auf immer kleineren Skalen entdecken.

Inwiefern?

Ein Photon hat mit Sicherheit eine Masse, so gering, dass diese als unendlich klein bezeichnet werden kann.

Man könnte auch sagen ein Photon hat keine Masse.

Die Verbindung von Naturwissenschaft mit artifizieller Wissenschaft der Mathematik kann uns aber möglicherweise daran hindern, die Wahrheit zu finden.

Naturwissenschaft IST Mathematik angewand auf das, was wir als Natur bezeichnen. Ohne Mathematik wäre Naturwissenschft nichts weiter als eine Erfassung aller Ereignisse.

[lamb of god]

Immer schön der Reihe nach. Natürlich verhindert die Planck-Länge das wir den Weg ins Innere der Natur endlos fortsetzen können und Strukturen auf immer kleineren Skalen entdecken. Inwiefern man das mathematische Konzept nun vom physikalischen trennen möchte, ist eine Frage des Prinzips. Ein Photon hat mit Sicherheit eine Masse, so gering, dass diese als unendlich klein bezeichnet werden kann. Physikalisch ist eine unendlich kleine Masse natürlich immer noch eine Masse - mathematisch ist eine unendlich geringe Masse 0 Masse. Die Verbindung von Naturwissenschaft mit artifizieller Wissenschaft der Mathematik kann uns aber möglicherweise daran hindern, die Wahrheit zu finden. Die Quantenmechanik versagt bekannterweise in unmittelbarer zeitlicher Nähe des Urknalls und sogar darüber hinaus. Die mathematischen Konzepte der Infinitesimalrechnung können daher sehr wohl auf den Kosmos angewandt werden. Ich zumindest kann nicht erkennen, dass es "unendlich klein" nicht geben könnte, nur weil die QM das physikalisch ausschließt.

Masse ist eine Eigenschaft, die Materie besitzen kann. Sie ist keine Bedngung. Sie ist entweder vorhanden oder nicht aber wenn vorhanden ist sie nie unendlich klein.

[Mithrandir]

Ist die Unendlichkeit nur auf die Endlichkeit bezogen oder auch auf einen nicht vorhandenen Anfang?

Mathematisch ist Unendlichkeit zunächst auf die Anzahl der Elemente einer Menge bezogen, die Frage nach einem Anfang ist da irrelevant, weil es auf so einer Menge keine Ordnungsrelation geben muss, also nichts, was die Elemente in eine Reihe bringt.
Der Begriff Unendlich wird aber auch noch als Grenzwertbegriff benutzt (sowohl unendlich groß (∞) als auch unendlich klein (infinitesimal, z. B. dx)).
Man sagt, dass z. B. eine Zahlenfolge gegen ∞ oder 0 strebt, aber ∞ ist nicht Element von ℝ. Durch entsprechende Definitionen kann man den Umgang mit solchen Grenzwerten handlicher machen. Es gibt auch noch andere Tricks, die Unendlichkeit fassbar zu machen, wie die projektive Geometrie, oder etwas anschaulicher, in einer perspektivischen Zeichnung lassen sich Punkte eintragen, die unendlich weit entfernt sind (Fluchtpunkt).

Die Menge aller Punkte in einem bestimmten, festen Abstand zu diesem Mittelpunkt bildet die Kugeloberfläche. Die Menge diese Punkte ist unendlich.

Die Kugeloberfläche scheint endlich, aber man könnte trotzdem das gesamte Menschheitswissen darauf drucken. Nur eine Frage der Auflösung!

Das ist genau der Unterschied zwischen den Unendlichkeitsbegriffen, den ich oben ausgeführt habe. Der Flächeninhalt der Kugeloberfläche (sofern der Radius endlich ist ) ist natürlich endlich, er lässt sich durch eine Zahl (und entsprechende Einheiten) angeben. Die Menge der Punkte dagegen ist unendlich, so wie es auch unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1 in ℝ gibt.

ja, mandelbrot war der mit den fraktalen. hat auf dem computer dargestellt, was fatou bereits anfang des letzten jhdts. mathematisch gefaßt hat. von chaostheorie war damals aber eher noch nicht die rede, und ich verstehe darunter auch eher die sache mit den nichtlinearen funktionen ("schmetterlingeffekt", bifurkationen), auch wenn sie z.b. über die seltsamen attraktoren in die fraktale hineinspielt

Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Mandelbrot-Menge und der Chaostheorie, auch wenn dieser nicht ganz offensichtlich ist. Es ist jedenfalls nicht verkehrt, dass sich häufig Bilder des Apfelmännchens auf und in Büchern zum Thema finden.
Die Mandelbrotmenge ist nämlich definiert über eine Iterationsvorschrift auf Punkten der komplexen Zahlenebene, diese Punkte sind der Parameter der Iteration. Und die Iteration zeigt abhängig von diesem Parameter das Verhalten, das wir auch aus anderen Situationen kennen, nämlich, Fixpunkte, Bifurkationen, verschiedene Zyklen und dann chaotisches Verhalten (im Zusammenhang zum Strangthem ist es übrigens interessant, dass vor dem Übergang ins Chaos unendlich viele Bifurkationen stattfinden…). Entsprechend hast man auch diese empfindliche Abhängigkeit des Iterationsverlaufs von den Anfangsbedingungen. Wen das interessiert, es ist in der Wikipedia ziemlich gut erklärt, z. B. findet man auf diesem Bild die Zyklen markiert und hat z. B. wenn man sich auf der reellen Achse nach links bewegt ein Beispiel für Bifurkationen.

Wie bringt ihr das PI eigentlich auf den Bildschirm ?

Ich habs mir auf AltGr+P gelegt.
Ansonsten: Aus einer Zeichentabelle kopieren, oder die Tastatur auf griechische Belegung umschalten.
Unter Windows kannst Du außerdem Zeichen über einen vierstelligen Zahlencode eingeben, ich vermute, dass es für Pi mit AltGr+0960 funktionieren müssten (AltGr gedrückt halten, Ziffern eintippen, loslassen).

Man könnte auch sagen ein Photon hat keine Masse.

Keine Ruhemasse.
Aus physikalischer Sicht: Wenn das Photon eine Ruhemasse hat, dann ist sie so klein, dass man sie nicht messen kann. Abgesehen davon sagt die Spezielle Relativitätstheorie, dass das Photon keine Ruhemasse hat. Hätte es doch eine, hätten die theoretischen Physiker viel zu tun.

[Kibuka]

Passend zum Thema.

http://www.br-online.de/br-alpha/alpha- ... 318290.xml

Angefangen bei der Vakuumpolarisation bis hin zur gekrümmten fünfdimensionalen Raumzeit kommt alles vor um die Unendlichkeit zu beschreiben.

Dabei wird die Unendlichkeit sowohl aus mathematischer, als auch aus physikalischer Sicht beleuchtet.

Weiterer netter Link:

http://www.br-online.de/br-alpha/mathem ... 540444.xml

[Herr Bert]

Masse ist eine Eigenschaft, die Materie besitzen kann. Sie ist keine Bedngung. Sie ist entweder vorhanden oder nicht aber wenn vorhanden ist sie nie unendlich klein.

Ich war in Physik immer ziemlich schlecht.
Kannst Du ein Beispiel nennen,
wo Materie keine Masse hätte?

[Papaloooo]

Ein Kreis hat unendlich viele Ecken.
Die reellen Zahlen zwischen Null und Eins sind Unendlich.

Hingegen: die Atome im Sichtbaren Universum sind rund 10^80.

[Adam Smith]

(15 May 2021, 20:43)

Ein Kreis hat unendlich viele Ecken.
Die reellen Zahlen zwischen Null und Eins sind Unendlich.

Hingegen: die Atome im Sichtbaren Universum sind rund 10^80.

Die Mathematik kennt die Unendlichkeit. Unendlichkeit ist aber in der Mathematik nicht gleich Unendlichkeit. Natürliche Zahlen stellen eine andere Unendlichkeit dar als reelle Zahlen. Ich würde die Unendlichkeit aber noch anders definieren.

[King Kong 2006]

Übersteigt wohl das menschliche Denkvermögen. Ich kann sie mir jedenfalls nicht vorstellen.

[Papaloooo]

(17 May 2021, 20:11)

Übersteigt wohl das menschliche Denkvermögen. Ich kann sie mir jedenfalls nicht vorstellen.

Etwas Endliches kann etwas Unendliches freilich niemals fassen.
Es ist nur noch abstrakt zu fassen.

Ich stelle das mal an einer kleinen mathematischen Aufgabe dar:
Nehmen wir die Zahlen 1 und 3:
Teile ich die 1 durch die 3 so bekomme ich in der Bruchdarstellung die Zahl: 1/3 aber dezimal:
0,3333333333333333333333333333333333333333333333...
Dies geht unendlich lang so weiter.
Nehme ich diese Zahl wieder mal 3 so erhalte ich 3/3 also 1.
Dezimal ist das aber schwieriger,
denn diese Zahl gibt ja im Grunde dann:
0,9999999999999999999999999999999999999999999999...
und das geht dann auch unendlich so weiter.
Es muss aber gelten:
0,9999999999999999999999999999999999999999999999... = 1
Denn mit jeder weiteren Stelle kommt es ja näher an die 1.
Und da es ja keine letzte Stelle gibt, ist es gleich 1.

[GerhardLoeffler]

(14 Nov 2008, 12:33)

Was Zeit letztlich ist, ist nach wie vor ungeklärt.

Nun ja. Da kann man denken, was man will.

Ein Erklärungsversuch ist die Planckzeit, auch Elementarzeit genannt.
Das ist die Zeit, die das Licht benötigt, um eine Strecke von der Größe der Elementarlänge zu durchlaufen.
Durchlaufdauer = 10 hoch minus 43 Sekunden! Mental schwer fassbar.

Des Weiteren "gibt" es in der Physik vermutete Zeitquanten, die Chrononen.

Meine persönliche Vorstellung von Zeit sind Elementardauern.
Eine Elementardauer ist die "Nahtstelle" auf dem Zeitstrahl zwischen "nicht mehr" und "noch nicht".

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[GerhardLoeffler]

(18 May 2021, 06:44)

Etwas Endliches kann etwas Unendliches freilich niemals fassen.

Ist der menschliche Geist unendlich?
Wenn ja, kann er mental die Unendlichkeit fassen!

[Papaloooo]

(31 Dec 2021, 15:44)

Ist der menschliche Geist unendlich?
Wenn ja, kann er mental die Unendlichkeit fassen!

Faktisch kann der menschliche Geist die Unendlichkeit natürlich nicht erfassen.

Auch keinen Computer kann bis in die Unendlichkeit rechnen.
Man bedenke mal, z.b. das sichtbare Universum besteht aus 10 hoch 80 Atomen.

Abstrakt jedoch lässt sich das Unendliche erfassen.
Und auch in der Mathematik treten manchmal Unendlichkeiten auf.

[GerhardLoeffler]

(15 May 2021, 20:43)

Ein Kreis hat unendlich viele Ecken.

Jeder Kreis ist endlich. Deshalb ist das unmöglich.

[GerhardLoeffler]

(31 Dec 2021, 15:49)

Faktisch kann der menschliche Geist die Unendlichkeit natürlich nicht erfassen.

Diese Aussage gilt nur für Dich im Sinne Deiner Aussage.

[GerhardLoeffler]

(11 Nov 2008, 12:05)

Hallo Zusammen,

habt ihr euch nicht auch schon mal gefragt, was denn mit Unendlichkeit gemeint ist? Ist die Unendlichkeit nur auf die Endlichkeit bezogen oder auch auf einen nicht vorhandenen Anfang?

Astrophilosophisch müsste ja die Unendlichkeit bedeuten, das es auch hinter der Ausdehnung ein Sein geben müsste.

Wie definiert man "hinter der Ausdehnung"?

Es scheint, dass Unendlichkeit das Gegenteil von Nichts ist, geistig, ideell, mental, räumlich und zeitlich.
Deshalb gibt es logisch keinen Anfang und kein Ende, geistig, ideell, mental, räumlich und zeitlich.

[Papaloooo]

(31 Dec 2021, 15:50)

Jeder Kreis ist endlich. Deshalb ist das unmöglich.

Nun, die Strecke auf einem Zollstock zwischen der Null und der Eins ist ein Zentimeter.
Auf diesem einem Zentimeter kann man aber unendlich viele reelle Zahlen unterbringen.
Denn unter
0,1 ist ja noch
0,01 darunter
0,001 darunter
0,0001 darunter
0,00001 darunter
0,000001 darunter
0,0000001 darunter
0,00000001 darunter
und so kannst du nun in einer unendlichen Reihenfolge weitermachen.

[GerhardLoeffler]

(31 Dec 2021, 17:44)

Nun, die Strecke auf einem Zollstock zwischen der Null und der Eins ist ein Zentimeter.
Auf diesem einem Zentimeter kann man aber unendlich viele reelle Zahlen unterbringen.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk. Leopold Kronecker

Planck hat gezeigt, dass auf energetischer Ebene das Geschehen gequantelt, also ganzzahlig ist. Das gilt auch für den Raum, weil Energie räumlich auftritt.