Mathe: Torricellis Trompete

[sportsgeist]

oder auch "gabriels posaune paradoxon" zeigt, dass fuer einen unendlich ausgedehnten geometrischen koerper ein endliches volumen, aber gleichzeitig eine unendlich grosse oberflaeche existieren kann.

fuer solch eine unendlich lange trompete der kontur 1/x mit einer endoeffnung von 1 dm waere sein volumen max. 2pi, also max. etwa 6 dm³ (oder 6 liter), waehrend seine oberflaeche unendlich gross waere.

wollte man die trompete aussen anstreichen braeuchte man also unendlich viel farbe, waehrend, wuerde man sie innen mit farbe komplett fuellen, braeuchte man nur 6 liter ... !?!?

irgendwie will mir das vorstellungstechnisch nicht ganz einleuchten, weil ich mir irgendwie nicht erklaeren kann, wie man sich das vorzustellen hat. mathematisch richtig ist es allerdings.

kann das irgendwer ergaenzend erlaeutern ...

[Cat with a whip]

Ein beliebig großes Volumen größer Null wird bei einer gegen Null konvergierenden Länge eine gegen unendlich strebende Fläche besitzen. Daher kann man mit einer beliebig kleinen Menge größer Null hypothetischer Farbe, die man unendlich dünn auftragen kann, eine unendliche Fläche besteichen. Genau dies geschieht gedanklich auch am gegen Null konvergierenden Querschnitt in Richtung unendlich der Funktion f(x)=1^-x.

Dies ist jedoch nicht intuitiv, da es der Alltagserfahrung widerstrebt: Mit realer Farbe funktioniert das nicht, da reale Farbe aus Partikeln besteht, die sich nicht beliebig in eine Richtung komprimieren lassen. Und ein gegen einen Grenzwert strebendes Volumen, trotz einer unendlich wachsenden Körperlänge ist in der Praxis nicht erfahrbar.

Damit lässt sich das Paradoxon aufklären, denn für die besagte Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn
bedeudet in der Praxis, dass sich
A) das begrenzte Volumen nie mit realer Farbe komplett bis zum theoretischen Wert auffüllen lässt und
B) nur eine begrenzte Fläche bestreichbar ist.

und theoretisch
C) liese sich das Horn mit der hypothetischen Farbe locker von innen bemalen. Dazu reichte jede beliebige Menge gößer Null bis PI .


PS. Zu den größten Seltsamkeiten dieses Forums gehört, dass man jedem Schüler der duchblicken lässt, dass seine Motivation Schularbeitenhilfe ist, so ein Strang sofort geschlossen wird, zumal kein Diskussionsgegenstand existiert.

[sportsgeist]

der diskussionsgegenstand ist, dass der fall einfach nicht so einfach einleuchten will ...

dein bild mit der inkompressiblen farbe hat dazu leider auch noch nicht wesentlich geholfen. eigentlich gar nicht.

wir koennen ja die trompete in gedanken mal endlich machen, also irgendwo bei london mal abschneiden.

mathematisch braucht man dann zum bestreichen der oberflaeche wesentlich mehr farbe, als wenn man sie komplett mit farbe fuellen wuerde.
paradox.

[Verr]

jegliche "anschauliche beispiele" gehen bei unendlich irgendwie schief, weil unser bewußtsein keine vorstellung von unendlich hat - unser göttlicher funke dagegen sehr wohl.

aber wo wir gerade bei hausarbeiten sind und bei anschauung und unendlich, da kann ich ja noch bevor der thread möglichweise geschlossen wird was fragen.
anders als bei meinem genialen 0,000...1 beispiel hab ich da noch ein punkt wo mir was nicht ganz klar ist, aber in dem fall die offzielle lösung nicht anzweifle aber suspekt isse mir schon.

an sich der nicht so komplizierte beweise der überabzählbarkeit der reellen zahlen.
man nimmt also eine unendliche liste von zahlen mit beliebigem, also nicht vorhandenen , ordnungsystem.
aus dieser unendlichen liste, die ich nicht kenne, da sie kein system hat oder irgendwelche eigenschaften wie pi oder e hat , die so zumindest irgendwie definieren würde erstelle ich eine unendliche zahl , eine zahl die ich nie bennen kann , da ich eine unendliche zahl ohne system selberständlich nicht kenne.
diese zahl, die ich nicht kenne, ist so generiert, dass sie nicht in der liste, die ich ebenfalls nicht kenne, enthalten ist.
ja wow super, das überzeugt mich jetzt aber.

um die sache noch besser zu machen. wenn dynamische zahlen erlaubt sind, die sich irgendwie in abhänigkeit von der liste ändern wieso darf ich dann keine dynamischen listen machen , die diese zahl dann doch enthalten?

also ich schnapp jetzt so ne zahl, dich ich eigentlich nicht habe, und füge sie meiner unbekannten aber trotzdem nach annahme vollständigen liste hinzu.
dann enthält ja nun diese neu liste meine zahl- gut , jetzt kann ich rekursiv nun wieder aus dieser neuen liste wieder eine zahl erzeugen die da angeblich fehlt, hat ja alle eigenschafften der alten liste... naja dann generier ich halt auch rekursiv neue listen.

also beim programmieren kann man ja arrays aus arrays machen , felder die als elemente felder haben.
sowas mein ich , ich mach mir also liste eine liste von listen.
da kann man dann beliebig neue zahlen generieren die da angeblich nicht enthalten sein sollen (was wir , siehe ganz oben, mangels nicht erreichbarkeit von unendlich nie genau wissen können), ich gehe dann meine listen in der liste durch und für jede zahl , die in der einen liste nicht ist, habe ich dann nachher ne andere liste die sie dann doch enthält, also die einzelelemente sind schon unendliche listen wohlgemerkt. quasi unendlich in mehrere richtungen.
so ne liste von listen geht doch bestimmt auch irgendwie als liste durch oder?

[Verr]

wollte man die trompete aussen anstreichen braeuchte man also unendlich viel farbe, waehrend, wuerde man sie innen mit farbe komplett fuellen, braeuchte man nur 6 liter ... !?!?

trompeten sind mir zu komlex, machen wir doch sowas wie ein blatt papier draus.

oder ein teigfladen.
je mehr wir den ausrollen je größer wird er in der fläche aber das volumen bleibt gleich.
nach mathe axiomen bekommen wir den auch sehr sehr dünn und damit sehr groß in der ausdehnung, fast wie eine 2 dimensionale ebene.
oder meinetwegen auch so ein bischen wie ein hügel, da isses von den zahlen anschaulicher ,dass es endlich bleibt, also je weiter vom zentrum entfernt ist, desto dünner wird der teig und es kommt immer weniger volumen hinzu , sowas wieso 1,1 + 0,001 + 0,0001,+0,00001 usw - also 2 wird das nicht.

wie dem auch sei , wie ich oben schon geschrieben habe verträgt sich anschauung und unendlich net so richtig, das hat man nur so intutiv im kopf.
das volumen der farbe ist natürlich 3 dimensional (3 ist übrigens eine heilige zahl, fast so wie 7) - da kannst du jeden anständigen physiker frager, volumen is was mit raum.
ein unendliche ebene hat aber dummerweise grenzwertiger weise so gut wie keine ausdehnung , will sagen , in unserer welt würde sie gar nicht existieren da wir eine 3d welt haben.
das problem wird dadurch relativiert ,dass man teig nicht unendlich weit ausgerollt bekommt,der mathematische grenzwertschritt (wir machen mal eben aus beliebig klein 0, was ich wie gesagt massiv anzweifle) also nur in gedanken existiert.

mathematiker streichen also eine unendliche fläche,die sie nicht wirklich haben und die in unserer welt nur formal! in gedanken - nicht aber in der anschauung - existiert.

für eine fläche(teigfladen) die(der) nicht existiert brauche ich natürlich auch keine farbe, insbesondere komme ich dann natürlich auch mit endlich viel farbe zurecht. also das wiederum finde ich dann wieder logisch und anschaulich.

[NP-vollständig]

oder auch "gabriels posaune paradoxon" zeigt, dass fuer einen unendlich ausgedehnten geometrischen koerper ein endliches volumen, aber gleichzeitig eine unendlich grosse oberflaeche existieren kann.

fuer solch eine unendlich lange trompete der kontur 1/x mit einer endoeffnung von 1 dm waere sein volumen max. 2pi, also max. etwa 6 dm³ (oder 6 liter), waehrend seine oberflaeche unendlich gross waere.

wollte man die trompete aussen anstreichen braeuchte man also unendlich viel farbe, waehrend, wuerde man sie innen mit farbe komplett fuellen, braeuchte man nur 6 liter ... !?!?

irgendwie will mir das vorstellungstechnisch nicht ganz einleuchten, weil ich mir irgendwie nicht erklaeren kann, wie man sich das vorzustellen hat. mathematisch richtig ist es allerdings.

kann das irgendwer ergaenzend erlaeutern ...

Derartige Phänome sind in der Analysis nicht ungewöhnlich...ein sehr simples Beispiel ist das der sogenannten Quadratpflanze...dabei handelt es sich zu Beginn um ein Quadrat mit Seitenlänge 1...jeden Tag wächst an jeder freien Seite jedes Quadrates, das am Tag zuvor entstanden ist, in deren Mitte ein neues kleines Quadrat mit einer Seitenlänge, die einem Drittel der Länge des Ursprungsquadrats entspricht....hier mal eine Grafik...

http://666kb.com/i/d1p03mnwaofardia7.gif

...geht nun die vergangene Zeit gegen unendlich, wird der Umfang der Quadratpflanze ebenfalls unendlich groß, der Flächeninhalt geht jedoch gegen den endlichen Grenzwert 3/2.

Torricellis Trompete ist ein ähnliches Beispiel in einer um 1 höheren Dimension...Fläche unendlich, Volumen endlich.

[NP-vollständig]

Dies scheint ein wirklich nicht sehr Mathematik-affines Forum zu sein...

[watisdatdenn?]

wir koennen ja die trompete in gedanken mal endlich machen, also irgendwo bei london mal abschneiden.

mathematisch braucht man dann zum bestreichen der oberflaeche wesentlich mehr farbe, als wenn man sie komplett mit farbe fuellen wuerde.

Aber wenn sich die Farbe super(unendlich)dünn verstreichen lässt, reicht ja dann auch locker ein einziger Tropfen um beliebig große flächen damit zu "bemalen".
wenn die fläche größer wird verstreicht man die farbe halt einfach noch dünner..

[NP-vollständig]

Aber wenn sich die Farbe super(unendlich)dünn verstreichen lässt, reicht ja dann auch locker ein einziger Tropfen um beliebig große flächen damit zu "bemalen".
wenn die fläche größer wird verstreicht man die farbe halt einfach noch dünner..

Klappt nicht...der Grenzwert der Fläche geht gegen unendlich und damit würde nach deiner Methode die Farbmenge im Grenzwert 0, d.h. du würdest letztlich nicht mehr malen und damit die Voraussetzung der Aufgabe verletzen.

[Mithrandir]

mathematisch braucht man dann zum bestreichen der oberflaeche wesentlich mehr farbe, als wenn man sie komplett mit farbe fuellen wuerde.
paradox.

Nein, es ist nicht wesentlich mehr. »Paradox« wird es erst, wenn man die Einheiten nicht beachtet. Bei zwei Größen unterschiedlicher Einheiten kann man nicht auf größer/kleiner vergleichen.

[watisdatdenn?]

Klappt nicht...der Grenzwert der Fläche geht gegen unendlich und damit würde nach deiner Methode die Farbmenge im Grenzwert 0, d.h. du würdest letztlich nicht mehr malen und damit die Voraussetzung der Aufgabe verletzen.

letztendlich wollte ich das selbe wie cat the whip sagen, nur ein anschauliches beispiel bringen.
klar reden wir hier von mathematischer farbe, es ist ja auch eine mathematische frage.

cat the whip:
"Ein beliebig großes Volumen größer Null wird bei einer gegen Null konvergierenden Länge eine gegen unendlich strebende Fläche besitzen. Daher kann man mit einer beliebig kleinen Menge größer Null hypothetischer Farbe, die man unendlich dünn auftragen kann, eine unendliche Fläche besteichen. Genau dies geschieht gedanklich auch am gegen Null konvergierenden Querschnitt in Richtung unendlich der Funktion f(x)=1^-x."


bei außen anstreichen der trompete kann man die trompete erst mit der "zauberfarbe" füllen und dann die trompete für diese farbe "durchlässig" machen, so dass sie dann auch außen "angemalt" ist.
vielleicht hilft dieses gedankliche bild zur veranschaulichung.

das ist ja immer das schwierige aber auch das faszinierende bei mathematik, dass man die alltagserfahrungen (farbe kann man nicht unendlich dünn verstreichen) geistig überwinden muss um eine zumindest halbwegs richtige vorstellung zu bekommen.
man kann natürlich auch nur die formeln betrachten, was dann zwar zum richtigen ergebnis kommt, aber nur halb so viel spass macht .


faszinierend finde ich z.B. auch immer die vorstellung von knoten in im 4-dimensionalen raum. da es diese ja nicht gibt . in meiner vorstellung "zupfe" ich die schnur welche im 3-dimensionalen ein knoten wäre im 4 dimensionalen raum immer ein wenig in richtung vierte dimension, sobald die schnur sich selbst als knoten im weg stehen würde. und so löst sich ein 3-dimensionaler knoten im 4-dimensionalen raum immer auf, sobald man an beiden enden der schnur zieht (projeziert auf einen 3-dimensionalen raum würde es dann so aussehen, als würde die schnur durch sich selbst durchgehen können..).

[NP-vollständig]

Das grundsätzliche Problem ist das menschliche Unvermögen, Unendlichkeit wirklich zu verstehen...wir haben uns Techniken angeeignet und Methoden entwickelt, mit denen wir Unendlichkeit handhaben können (Grenzwerte, Differentialquotienten, Integrale etc.), aber wirklich verstehen kann ein endliches Gehirn die Unendlichkeit nicht...ein simples Beispiel: die natürlichen Zahlen sind jedem bekannt...1, 2, 3, 4 usw. ad infinitum...die ganzen Zahlen enthalten sämtliche natürlichen Zahlen und zusätzlich unendlich viele weitere...0, -1, -2, -3 usw...jeder "normale" Mensch würde nun sagen, dass es mehr ganze als natürliche Zahlen gibt...dem ist aber nicht so...beide Mengen sind gleich mächtig, haben also gleich viele Elemente...dafür gibt es sogar eine Zahl, Aleph-0...füge ich nun die Brüche hinzu und lande bei den rationalen Zahlen, sind es immer noch Aleph-0 viele...erst mit den rellen Zahlen kommt der Sprung...das sind "echt" mehr...die reellen Zahlen sind überabzählbar, es gibt-Aleph-1 viele mit Aleph-1=2^Aleph-0...und es geht immer so weiter...die nächst höhere Unendlichkeitsklasse ist Aleph-2...die umfasst zum Beispiel die auf den reellen Zahlen definierbaren Funktionen...und wie kann es anders sein: es gibt unendlich viele Unendlichkeitsklassen...starker Tobak, oder?

[Brainiac]

Der Cantor war halt schon ein fieser Hund.

[NP-vollständig]

Der Cantor war halt schon ein fieser Hund.

Dafür haben sie ihn ja auch zeitweise in die Psychiatrie gesperrt...Hochleistungsdenken ist unter Umständen genau so gefährlich wie Hochleistungssport...im Grenzbereich der menschlichen Fähigkeiten macht es manchmal "Klick" und das war's...Cantor, Boltzmann, Turing, Gödel...you name them.

[Brainiac]

Wobei bei Turing m.w. auch die Zwangsheterosexualisierung eine gewisse Rolle gespielt haben soll.

[NP-vollständig]

Wobei bei Turing m.w. auch die Zwangsheterosexualisierung eine gewisse Rolle gespielt haben soll.

Natürlich...das was die damals medikamentös verabreicht haben, waren Psychopharmaka der ersten Stunde...reine Chemokeulen...übrigens ist Turing erst vor wenigen Jahren von der Queen rehabilitiert worden...kein Ruhmesblatt für das vereinigte Königreich.

[Mithrandir]

Das grundsätzliche Problem ist das menschliche Unvermögen, Unendlichkeit wirklich zu verstehen...

Naja, im Antiken Griechenland konnte ein Zenon noch auf einem fehlenden Verständnis von Unendlichkeit aufbauen, um zu argumentieren, dass Achilles die Schildkröte nicht erreichen wird. Heute dagegen hat jeder Abiturient zumindest Infinitesimalrechnung gelernt.

Er weiss also insbesondere, dass auch die Summe von unendlich oft der gleichen Zahl endlich bleiben kann, wenn jeder Summand mit einem infinitesimal kleinen Faktor multipliziert wird.
(Wenn man die Trompete von innen anmalen, muss die Farbe infinitesimal dünn werden)

[NP-vollständig]

Naja, im Antiken Griechenland konnte ein Zenon noch auf einem fehlenden Verständnis von Unendlichkeit aufbauen, um zu argumentieren, dass Achilles die Schildkröte nicht erreichen wird. Heute dagegen hat jeder Abiturient zumindest Infinitesimalrechnung gelernt.

Er weiss also insbesondere, dass auch die Summe von unendlich oft der gleichen Zahl endlich bleiben kann, wenn jeder Summand mit einem infinitesimal kleinen Faktor multipliziert wird.
(Wenn man die Trompete von innen anmalen, muss die Farbe infinitesimal dünn werden)

Da hast du mich missverstanden, Olórin...es gibt verschiedene Stufen der Erkenntnis...das, was wir im Gegensatz zu Zenon und seinen Zeitgenossen dank Analysis und Zahlentheorie mittlerweile "verstehen", ist die angemessene Art, mit Unendlichkeit in seinen verschiedenen Ausprägungen umzugehen...aber das tiefere intuitive Verständnis, welches wir in anderen Bereichen wahrnehmen, fehlt uns nach wie vor und wird sich auch niemals einstellen...sicherlich kann jeder einigermaßen intelligente Mensch nachvollziehen, dass sich die Gleichmächtigkeit zweier Mengen über die Existenz einer Bijektion nachweisen lässt...aber selbst beim simplen Verhältnis von natürlichen und ganzen Zahlen bleibt dem Nicht-Mathematiker das mulmige Gefühl, dass da irgendwas nicht stimmt, denn sämtliche natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten und dann kommen noch unendlich viele weitere dazu...das müssen doch mehr sein...selbst wenn ich mit Erstsemestern der Mathematik oder Informatik rede, ist da gelegentlich jemand dabei, der sich bei dem Gedanken der Gleichmächtigkeit nicht wohlfühlt...und woher kommt das?...ganz einfach, wir können als endliche Wesen eben kein "Gefühl" für die Unendlichkeit entwickeln...das ist nicht unser Zuhause.